Se desliza una brocha de pintura a lo largo de las diagonales del cuadrado para poder producir una región pintada simétrica, como se muestra en la figura. La mitad del área del cuadrado esta pintada ¿cual es la razón entre la longitud del lado del cuadrado y el ancho de la brocha?
para este ejercicio sugerir formas de solución.
los comentarios son validos hasta el 19 de marzo del 2009
Para la solucion del ejecicio podriamos tener encuenta los triangulos equilateros que se forman en el centro del cuadrado (color blanco) y los triangulos que se forman en los vertices del cudrado (color negro),debido a esto podemos establecer que un lado del triangulo equilatero equivale a el ancho de la brocha y no haciendo un calculo tan profundo podemos concluir que el ancho de la brocha equivale a la tercera parte del lado del cuadrado y la razon quedaria 1/3.
ResponderEliminarGabriela Santacruz 11A
Para este ejrcicio...hay que tener en cuenta que los lados de los triangulos que se forman en los vertices del cuadrado (negro) son iguales, excepto la base de los mismos, tambien conocemos el area para todo el cuadrado...asi podriamos establecer el area para la parte blanca y para la parte negra..teniendo en cuenta las figuras básicas que en estas se forman...para asi encontrar la relacion ancho brocha-lado del cuadrado...
ResponderEliminarHOLA PROFE!!!!
ResponderEliminarBUENO PUES PARA RESOLVER EL EJERCICIO HAY KE VER LOS TRIANGULOS CON SUS RESPECTIVOS LADOS. EL COLOR NEGRO REPRESENTA A LOS VERTICES DEL CUADRADO QUE CONSTAN DEL MISMO VALOR (LOS LADOS UNICAMENTE LA BASE ES DIFERENTE), EL COLOR BLANCO REPRESENTA A LOS CUATRO TRIANGULOS KE VEMOS EN LA FIGURA Y SE FORMAN EN EL CENTRO DEL CUADRADO..
PODEMOS OBTENER EL AREA DE LOS LADOS EN LAS PARTES BLANCAS Y NEGRAS POR QUE SE CONOCE EL AREA DEL CUADRADO OBSERVANDO LA FIGURA VEMOS QUE EL ANCHO DE LA BROCHA ES COMO UNO DE LOS LADOS DE LOS TRIANGULOS, CON ESTO PODRIAMOS VER UNA RELACION DE LA LONGITUD DEL LADO DEL CUADRADO Y EL ANCHO DE LA BROCHA QUE ES LO QUE NOS PIDE EL EJERCICIO.GRACIAS
S@R!T@ N@RV@EZ!!!
Para solucionar el problema quisiera tener en cuenta que el sistema esta constituido por triangulos que no poseen lados iguales. Una razon en comun que tendría es que al agregarle nombres a las variables como a los lados que no conocemos como son los lados del cuadrado y los lados del triangulo que se forman al observar las partes por las que ha pasado la brocha en las esquinas del cuadrado, comparando estos dos lados podria existir una solucion.
ResponderEliminarAtt: Angela Sofia Mora
La razon entre los triangulos que se forman blancos y el espacio formado por la brocha de color negro se deduce de varias formas..como ya o han comentado; mi forma de resolverlo es por medio del desplazamiento de los triangulos que se forman blancos, si nos damos cuenta, al unir estos triangulo, y teniendo en cuenta que la brocha tenia como objetivo formar una pintura simetrica, los triangulos formaran un rectangulo, correspondiente a la tercera parte del rectangulo total, si multiplicamos este rectangulo formado por los triangulos blancos encontraremos que es el total del espacio, y si notaremos que se necesitan 4 de estos rectangulos para completar la figura, sin embargo solo hay uno. Asi que esa es mi conclusion de como hallar la proporcion blanco negro de la figura..si alguien tiene alguna otra..no se..no podria hallar una diferente a las expuestas.......comenten...jejeje
ResponderEliminarbye:
ATT: ALEJANDRA SUAREZ IBARRA
11A
bueno profe para solucionar este problema primero tenemos que tener claro los datos que tenemos que seria el perimetro del cuadrado y que las union de los triangulos forfan un rectangulo el caual seria una cuarta parte de la figua total entonses yo creo que con los trazos negro formariamos las figuras geometricas basicas para asi poder complementar la
ResponderEliminarparte que falta de la figura total.... esta fue la solucion que encontre jorgito... porfavor calificar con amorr!!!! gracias
para solucionar este ejercicio yo plantearía variables que representen las dimensiones de los lados delos triángulos, de manera que se plantee la igualdad (L^2)/2=Área de la pintura, la cual se obtendría de las variables asignadas en función de L. Donde L es el lado del cuadrado
ResponderEliminarDANIELA ESPAÑA TIMARAN
ResponderEliminar11-A
profe a mi correo le paso algo entonces comente con el de la caro coral gracias
L es el ancho del cudrado y H la de la brocha.
tenemos un cuadrado y lo dividimos en cuartos me queda en triangulo.
h es la hipotenusa y los catetos son l/4
H elevado a la dos =(L/4) elevado a la 2 + (L/4) ELEVADO A LA DOS
H2=L al cuadrado/16 + L al cuadrado/16
H al cuadrado = 2.L AL CUADRADO/16=L al cuadrado/8
H= L/raiz cudrada de 8
entoces hay ya queda H a razon de L
Continuando con el 1º comentario...ya tomando las figuras básicas que se forman tanto en el area blaca como en la negra (rectagulo, cuadrados. triangulos isosceles), tenemos que...los triangulos en los vertices del cuadrado (n), tinene lados iguales x entonces como es un triangulo rectangulo podemois hallar la hipotenusa que seria el ancho de la brocha...el cual es por pitagoras RAIZ DE 2 POR X...asi tenemos ya los lados del triangulo blanco al cual tambien le encontre la hipotenusa y me dio 2x...entonces la razon lado cuadrado-ancho brocha, quedaria 4x ( suma de x+x+2x) dividido raiz de 2 por x y esto es igual a 4/ raiz de 2 q es 2.82u...
ResponderEliminarSegun mis calculos profe el area sombreada es 1/2 del cuadrado, si tenemos en cuenta los triangulos (no sabemos si son equilateros)podriamos decir que el ancho de la brocha es igual a la base de los triangulos (negros) en las esquinas del cuadrado.
ResponderEliminarsi tomamos un lado del cuadrado lo llamaremos "x", y cada pedacito negro que se observa en el lado lo llamaremos "y". La relacion que pude encontrar entre la longitud del lado de cuadrado y el ancho de la brocha es de x - 2y.
Para resolver el ejercicio se debe dividir en cuatro partes el cuadrado, teniendo en cuenta que el ancho del cuadrado es A, empleando el teorema de Pitágoras se encuentra la razón. Se eleva al cuadrado la hipotenusa que es igual al cuadrado del ancho del cuadrado sobre cuatro(porque esta dividido en cuatro el cuadrado grande),mas el cuadrado del otro ancho del cuadrado entre cuatro, se resuelve esto y resulta la H(la razón) igual a 2 veces el ancho del cuadrado sobre dieciséis.
ResponderEliminarMadeline Ruano.11A
Bueno para corregir el desface del primer comentario debido a que los triangulos que se forman no son equilateros sino rectangulos entoces el ancho de la brocha vendria a ser la hipotenusa.entonces dandole nombres a estos lados tenemos que los catetos valen L y por pitagoras encontramos que el ancho de labrocha equvale raiz de 2*l, tambien podemos encontrar que uno de los catetos es decir l del esta contenido 4 veces en un lado del triangulo entonces la razon nos queda 4l dividido raiz de 2 *l y racionalizando obtenemos 4 raiz de 2 dividido 2 y simplificando esto es = 2raiz de 2
ResponderEliminarGabriela santacruz 11A
HoLa jOrGiTo!!!
ResponderEliminarBueno para empezar a resolver este ejercicio es necesario el tener claridad a cerca de los datos con los cuales contamos, en este caso serian el perimetro del cuadrado y el rectangulo que se forma debido a la union de los triangulos, esto nos daria lugar a una cuarta parte de toda la figura en total.
A partir de lo anterior es preciso decir que la parte trazada en negro forma figuras geomatricas de caracter basico, con el fin de completar la parte faltante de la figura en total.
GrAcIaS pRoFe!!!
ATT: lInItA RoMeRo bAsTiDaS
11-A
bueno para empezar sabemos que el area sombreada es 1/2 del area total del cuadrado, el ancho de la brocha es igual a la hipotenusa de los triangulos que se encuentran a los extremos del cuadrado.
ResponderEliminarvamos a tomar un lado del triangulo con la variable x y uno de los lados de los triangulos con la variable Y.
La relacion que encuantro entre la longitud del lado del cuadrado y del ancho de la brocha es que X- 2Y............. y nose que mas sigue????
Angela Alvarado 11-A
Hola profe Jorgito...
ResponderEliminarSi la brocha pinto la mitad del area del cuadrado entonces el area sin pintar es decir los 4 triangulos coresponden a la otra mitad.como la region pintada es simetrica entonces se calcula el punto medio de cada lado del cuadrado y se trazan perpendiculares a estos lados que pasen por los puntos medios obteniendo asi 4 partes iguales.Ahora tomo 1/4 del cuadrado y repitiendo el proceso obtenemos nuevamente 4 partes de las cuales 2/4 estan completamente pintados y 2/4 semipintados cada uno de estos cuartos estan formados por 2 triangulos rectangulos los cuales tienen los catetos iguales y q ademas equivalen a 1/4 del lado del cuadrado original.
por cada esquina del cuadrado existe un triangulo rectangulo, al cual le damos valores de catetos iguales a x porque no los conocemos, si los catetos valen x, entonces la hipotenusa vale raiz de 2x, teniendo en cuenta lo siguiente:
ResponderEliminarH=RAIZ DE X Al 2 + X Al 2= RAIZ DE 2X
ahora podemos ver que en la cruz existen dos rectangulo los cuales tienen cada uno de altura los 2x que encontrados anteriormente, bien como
sabemos que el area sombreada es igual a la mitad del area del cuadrado, entonces encontramos la base del triangulo asi:
1/2= B. 2raiz de 2x(son 2raiz de 2 x los dos rectangulos)
B=1/2/2raiz de2x= 4 raiz de 2x.
por cada esquina del cuadrado existe un triangulo rectangulo, al cual le damos valores de catetos iguales a x porque no los conocemos, si los catetos valen x, entonces la hipotenusa vale raiz de 2x, teniendo en cuenta lo siguiente:
ResponderEliminarH=RAIZ DE X Al 2 + X Al 2= RAIZ DE 2X
ahora podemos ver que en la cruz existen dos rectangulo los cuales tienen cada uno de altura los 2x que encontrados anteriormente, bien como
sabemos que el area sombreada es igual a la mitad del area del cuadrado, entonces encontramos la base del triangulo asi:
1/2= B. 2raiz de 2x(son 2raiz de 2 x los dos rectangulos)
B=1/2/2raiz de2x= 4 raiz de 2x.
...para este ejercicio es preciso fijarse en las figuras básicas q conforman tanto el area blanca como la negra y el cuadrado en si, para ello podemos tomar varias formas los rectangulos del area negra, o los triangulos del area blanca, entr otras...y a partir de calculos de areas básicas de estas figuras podriamos encontrar la razon lado-ancho, de una primera forma quedaria en base a x (ancho de la brocha) y otra formula en base a l (lado del cuadrado)..asi tendriamos que remplazar el uno en el otro y hallar la razon..otra buena forma de resolver seria aplicando pitagoras, ya que los triangulos formados en este ejercicio son rectangulos...ok? ; )...
ResponderEliminarProfe Jorgito despues hice esto:con esto es posible calcular la hipotenusa q es igual al ancho de la brocha asi:
ResponderEliminarHipotenusa al cuadrado=A al cuadrado+B al cuadrado Como A=B Entonces hipotenusa al cuadrado=2A al cuadrado esto es igual a Hipotenusa al cuadrado.
Como a=1/4L
L lado del cuadrado.Entonces hipotenusa al cuadrado=2(1/4L)a la 2 = 2(1/16L a la 2)= 1/8L a la 2.Luego hipotenusa=a raiz 1/8L a la 2 =L/raiz de 8.
Asi la razon entre la longitud del lado del cuadrado y el ancho de la brocha es:
L sobre L/raiz de 8 = 1/raiz de 8
Hola profesorcito como ha estado… bueno para desarrollar este ejercicito debemos tener en cuenta el perímetro del cuadrado y también q los triángulos q se forman tienen sus lados iguales con esta información podemos sacar el área de los triángulos y juntando estas áreas podemos sacar el área de la parte negra. Entonces la razón entre la longitud del cuadrado y el ancho de la brocha se la encuentra teniendo en cuenta las figuras q aquí se forman.
ResponderEliminarY ya no se mas… chaooo
ANGELA MERA ARTEAGA…
hola profe... teniendo en cuenta la grafica planteada podemos deducir que el cuadrado en sus esquinas esta tambn conformado por un triangulo los cuales al no tener un valor asignado les pondremos x.
ResponderEliminarprimero que todo debemos despejar uno de los triangulos y al caler dos de sus lados x, su hipotenusa seria igual a 2x.
entonces decimos que el ancho de la brocha es igual a la longitud del cuadrado 2L, mas este mismo pero al cuadrado.
X al cuadrado/16 y por ultimo
ancho X/raiz de ocho de esta forma encontrariamos el ancho de la brocha
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
ResponderEliminarBueno… en los extremos del cuadrado, la región pintada simétricamente por la brocha podemos ver un triangulo los dos catetos X entonces la hipotenusa seria raíz cuadrada de 2x así es en cada uno de extremos del cuadrado. El área del cuadrado es D a la 2 entonces lo negro seria igual a D a la 2 /2. en el triangulo ya encontramos la hipotenusa entonces podemos ver 2 rectángulos su altura seria la hipotenusa del triangulo = raíz de 2x solo nos quedaría encontrar la base que es igual ½ =raíz de 2x por b..
ResponderEliminaren base a la figura, podriamos decir a la vez, que si la brocha se desliza de forma simetrica con la pintura, la proporcion del cuadrado, con el ancho de la brocha, ademas de estar proporcionado el espacio en blanco con la misma figura, esta dado bajo la longitud de el cateto opueto al angulo recto del triangulo formado por el triangulo que se situará en los bordes de la figura principal.
ResponderEliminaralejandra suarez
Alejandra Barrera
ResponderEliminarHola profe.... para desarrollar este ejercicio podemos tener en cuenta que al deslizar la brocha por la figura mostrada podemos encontrar que al final se forman unos triangulos los cuales no tienen valores en sus catetos y en su hipotenusa. dedido a que no tienen valores a los catetos como son iguales podemos darles el valor de x a los dos, por tal razon su hipotenusa medira raiz cuadrada de 2x, como ya encontramos la hipotenusa de los triangulos podemos decir que el valor de esta seria el valor del ancho de dos rectangulos que se forman o tambien el valor del alto de los rectangulos.
Ahora como sabemos que la figura se divide en dos rectangulos podemos decir que el area de cada rectangulo seria 1/2 entonces para encontrar la base del rectangulo podriamos decir que 1/2= base por raiz de 2x que seria la altura entonces podemos encontrar la base despejando esta formula y nos quedaria base = 1/2 /raiz cuadrada de 2x que seria igual a 2 raiz cuadrada de 2x entonces la relacion quedaria asi: b.a = 2 raiz cuadrada de 2x por raiz cuadrada de 2x para cada rectangulo...
BUENO PROFE.LO QUE PASA ES QUE ME QUEDA UN POCO DIFICIL EXPLICARLE PORQUE NECESITARIA UNA GRAFICA EN LA QUE PUDA TRAZAR ALGUNAS LINEAS FALTANTES,
ResponderEliminarPERO BUENO, LO QUE HICE FUE TRAZAR 4 LINEAS CADA UNA UBICADAS EN LOS PUNTOS EN QUE LA PINTURA TOCABA EL CUADRO. POR LO TANTO ME QUEDARIA 13 FIGURAS GEOMETRICAS DE LAS CUALES 4 PERTENECEN A EL AREA NO PINTADA.
AHORA SUPONGO QUE LOS LADOS DE EL CUADRADO PRINCIPAL TIENEN UN VALOR DE X., COMO YA SE HABIA TRAZADO LAS LINEAS, POR LAS CUALES ME DIERON 4 TRIANGULO ESQUINEROS Y 4 TRIANGULOS EN MEDIO DE ESTOS;SUPONGO QUE EL VALOR DE UNO DE LOS LADOS DE ESOS TRIANGULOS ES Y. POR LO TANTO EL VALOR DE LOS LADOS DE LOS TRIANGULOS (BLANCOS) ES:1X-2Y.
EL EJERCICIO NOS DICE QUE EL AREA PINTADA ES IAGUAL A EL AREA BLANCA
PORLOTANTO, ENCUENTRO LAS AREAS DE TODAS LAS FIGURAS PINTADAS.PERO TIENES QUE HACER UNA SEMEJANZA DE TRIANGULOS CON EL VALOR DE QUE RESULTA DE HACER PITAGORAS CON EL CUADRO PRINCIPAL(OSEA QUE PARTIMOS EL CUADRO PRINCIPAL EN DOS)ESE RESULTADO SERA 1,41 X PORQUE HIPOTENUSA AL CUADRADO ES IGUAL A : X*X+X*X=RAIZ DE 2X*X.
REALIZO LA SEMEJANZA DE TRIANGULO
A8AL LADO QUE QUEREMOS ENCONTRAR DE LOS TRIANGULO BLANCOS LO LLAMAMOS (B)=
B/X-2Y=XA71.41X. X CON X SE CANSELAN Y ME DA B=X-2Y/1,41
ORGANIZAMOS LA ECUACION. AREA NEGRA = AREA BLANCA.
4(Y*Y)/2+4(1,41Y*X-2Y?1.41)++2(Y*Y)=4(X-2Y/1.41)*(X-2Y/1.41)/2.
=2(Y*Y)+4Y(X-2y)+2(Y*Y)=(X-2y)*(X-2y).
=(X-2Y)*(X-2Y)-4Y(X-2Y)-4y*4y=0
X*X-4XY+4(Y*Y)-4XY+8(y*Y)-4(Y*Y)=0
(X*X)-8XY+8(Y*Y)=0
DAMOS UN VALOR A (X):10
(10)*(10)-8*10Y+8(Y*Y)=0
100-80+8(Y*y)=0
8(Y*Y)-80Y+100=0
Y:80+O-RAIZ((80+80)-4*8*100/16
y:1.465
ANCHO BROCHA:1.41*1.465=2.065
RAZON:2.065/10=0.20.
YENIFER LISETH GARCES
perdon profesor por la demora sino que se me daño el internet y por dejar todo al ultimo ya no lo pude hacer mil disculpas pero aqui esta mi comentario
ResponderEliminarsi colocamos el valor de x a cada lado que se pinta el cuadrada al unir cada esquina se forma un tringulo recto que la hipotenusa del triangulo seria el ancho de la brocha, ahora para saber el largo del lado del cuadrado se forma imaginariamente otro triangulo recto, con los catetos ahora son el ancho de la brocha y el otro cateto es un lado del triangulo blanco no pintado, y la hipotenusa de ese triangulo seria la mitad de un lado del cuadrado. entonces hacian el calculo seria haci
raiz de X^2^+X^2 = 2X entonces 2X esel ancho de la brocha y ahora 2x se convierte en el en cateto entonces:
raiz 2X^2+2X^2 = 4X por 2 8x entonces se hace la razon 2X : 8X o la razon entre ancho y lado del cuadrado es X : 4X o el lado del cuadrado es 4 veces el ancho de la brocha
Hola profe Jorgito perdón por no poner el comentario hasta la fecha indicada pero es que tuve un problema pero ya estaré hablando con usted…
ResponderEliminarTenemos que se forman figuras geométricas con las áreas negras y con las áreas blancas, en las áreas blancas se forman triángulos y con las áreas negras rectángulos cuadrados o triángulos y yo pienso que podríamos encontrar la razón con el calculo de las áreas de estas figuras. Otra forma posible seria resolverlo con Pitágoras. Seria con los triángulos que se fuman en las áreas negras en los extremos del cuadrado, daríamos como los catetos de valor igual (x), y la hipotenusa seria raíz de 2x (h= raíz de x al cuadrado + x al cuadrado=raíz de 2X) y la razón seria 2 raíz de 2x… gracias
Diana Cardenas 11 a